Análise Matemática III

Engenharia Mecânica, Publicação em Diário da República - Despacho nº 14312/2015 - 02/12/2015

5 ECTS; 2º Ano, 1º Semestre, 30,0 T + 30,0 TP + 4,50 OT

Docente(s)
- Maria Helena Morgado Monteiro

Pré-requisitos
Conteúdos programáticos das unidades curriculares de Análise Matemática I e de Análise Matemática II.

Objetivos
Desenvolver e aplicar conhecimentos em cálculo diferencial e integral de funções com várias variáveis à formulação, análise e resolução de problemas relacionados com:
a) Integrais curvilíneos e integrais de superfície, em particular o efeito de campos vetoriais em partículas que se deslocam sobre curvas ou atravessam superfícies, respetivamente;
b) O comportamento de fenómenos físicos, económicos, demográficos ou outros, conhecidas taxas de variação e restrições desses fenómenos, modelados por equações ou sistemas de equações diferenciais.

Programa
1. Cálculo Vetorial
1.1. Funções vetoriais;
1.2. Integrais curvilíneos;
1.2.1. Definição, interpretação geométrica e cálculo do integral curvilíneo;
1.2.2. Integral curvilíneo de um campo vetorial - o trabalho realizado por um campo de forças;
1.2.3. Independência do caminho;
1.2.4. O Teorema de Green;
1.3. Integrais de Superfície
1.3.1. Definição e cálculo do integral de superfície de uma função escalar;
1.3.2. Definição, interpretação física e cálculo do integral de um campo vetorial sobre uma superfície orientada;
1.3.3. O Teorema da divergência;
1.3.4. O Teorema de Stokes.
2. Equações Diferenciais
2.1. Alguns modelos matemáticos, definições e terminologia;
2.2. Equações diferenciais de primeira ordem - equação de variáveis separáveis, equação homogénea, equação total exata, equação linear e equação de Bernoulli;
2.3. Equações diferenciais lineares de ordem n - equações homogéneas com coeficientes constantes e equações completas;
2.4. A Transformada de Laplace
2.4.1. Definição e algumas propriedades;
2.4.2. Transformada inversa;
2.4.3. Aplicação às equações diferenciais lineares de coeficientes constantes - problemas de valor inicial;
2.4.4. A função escalão unitário;
2.5. Sistemas de equações diferenciais lineares
2.5.1. Definições e resolução pelo método da eliminação;
2.5.2. Método dos operadores diferenciais;
2.5.3. Método da diagonalização da matriz dos coeficientes;
2.5.4. Método das transformadas de Laplace.

Metodologia de avaliação
Avaliação por frequência: duas provas escritas, classificadas de 0 a 20 valores, cada uma com nota mínima de 5 valores;
Avaliação por exame: uma prova escrita, classificada de 0 a 20 valores, sobre toda a matéria lecionada ou apenas sobre um dos capítulos, este último caso para os alunos que obtiveram 10 ou mais valores na prova de frequência relativa ao outro capítulo.
O estudante é aprovado se obtiver, pelo menos, 10 valores na prova de exame ou na média das provas de avaliação por frequência.
Um estudante que obtenha uma classificação igual ou superior a 17 valores poderá ter de se submeter a uma avaliação extraordinária. Caso não a faça, ficará com 17 valores.

Bibliografia
- Monteiro, H. (2019). Apontamentos de Análise Matemática III. Abrantes: ESTA
- Stewart, J. (2012). Calculus. Belmont, USA: Cengage Learning
- Zill, D. (2001). Equações Diferenciais. (Vol. I). São Paulo: Makron Books
- Larson, R. e Hostetler, R. e Edwards, B. (2006). Cálculo. (Vol. II). São Paulo: McGraw-Hill
- Ramos, M. (2011). Curso Elementar de Equações Diferenciais - Textos de Matemática. (Vol. 14). Lisboa: Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

Método de interação
Aulas teóricas (T) expositivas, onde se descreve e exemplificam aplicações dos princípios fundamentais, acompanhadas de análise e discussão; aulas TP onde o docente orienta os alunos no treino e na exploração de conhecimentos adquiridos nas aulas T.

Software utilizado nas aulas
Não aplicável.