Análise Matemática III

Engenharia Mecânica, Publicação em Diário da República - Despacho nº 14312/2015 - 02/12/2015

5 ECTS; 2º Ano, 1º Semestre, 30,0 T + 30,0 TP + 4,50 OT

Docente(s)
- Maria Helena Morgado Monteiro

Pré-requisitos
Não aplicável.

Objetivos
Desenvolver e aplicar conhecimentos em cálculo diferencial e integral de funções com várias variáveis à formulação, análise e resolução de problemas relacionados com:
a) Integrais curvilíneos e integrais de superfície, em particular o efeito de campos vetoriais em partículas que se deslocam sobre curvas ou atravessam superfícies, respetivamente;
b) O comportamento de fenómenos físicos, económicos, demográficos ou outros, conhecidas taxas de variação e restrições desses fenómenos, modelados por equações ou sistemas de equações diferenciais.

Programa
1. Cálculo Vetorial
1.1. Funções vetoriais;
1.2. Integrais curvilíneos;
1.2.1. Definição, interpretação geométrica e cálculo do integral curvilíneo;
1.2.2. Integral curvilíneo de um campo vetorial - o trabalho realizado por um campo de forças;
1.2.3. Independência do caminho;
1.2.4. O Teorema de Green;
1.3. Integrais de Superfície
1.3.1. Definição e cálculo do integral de superfície de uma função escalar;
1.3.2. Definição, interpretação física e cálculo do integral de um campo vetorial sobre uma superfície orientada;
1.3.3. O Teorema da divergência;
1.3.4. O Teorema de Stokes.
2. Equações Diferenciais
2.1. Alguns modelos matemáticos, definições e terminologia;
2.2. Equações diferenciais de primeira ordem - equação de variáveis separáveis, equação homogénea, equação total exata, equação linear e equação de Bernoulli;
2.3. Equações diferenciais lineares de ordem n - equações homogéneas com coeficientes constantes e equações completas;
2.4. A Transformada de Laplace
2.4.1. Definição e algumas propriedades;
2.4.2. Transformada inversa;
2.4.3. Aplicação às equações diferenciais lineares de coeficientes constantes - problemas de valor inicial;
2.4.4. A função escalão unitário;
2.5. Sistemas de equações diferenciais lineares
2.5.1. Definições e resolução pelo método da eliminação;
2.5.2. Método dos operadores diferenciais;
2.5.3. Método da diagonalização da matriz dos coeficientes;
2.5.4. Método das transformadas de Laplace.

Metodologia de avaliação
Avaliação por frequência: duas provas escritas, classificadas de 0 a 9 valores, cada uma com nota mínima de 2 valores; duas apresentações em aula da resolução de um exercício, classificadas de 0 a 1 valor e avaliadas pelos pares.
Avaliação por exame: uma prova escrita, classificada de 0 a 20 valores, sobre toda a matéria lecionada ou apenas sobre um dos capítulos, este último caso para os alunos que obtiveram 10 ou mais valores na prova de frequência relativa ao outro capítulo.
O estudante é aprovado se obtiver, pelo menos, 10 valores na prova de exame ou na soma das classificações dos quatro elementos de avaliação por frequência.
Um estudante que obtenha uma classificação igual ou superior a 17 valores poderá ter de se submeter a uma avaliação extraordinária. Caso não a faça, ficará com 17 valores.

Bibliografia
- Monteiro, H. (2020). Apontamentos de Análise Matemática III. Abrantes: ESTA
- Stewart, J. (2012). Calculus. Belmont, USA: Cengage Learning
- Zill, D. (2001). Equações Diferenciais. (Vol. I). São Paulo: Makron Books
- Larson, R. e Hostetler, R. e Edwards, B. (2006). Cálculo. (Vol. II). São Paulo: McGraw-Hill
- Ramos, M. (2011). Curso Elementar de Equações Diferenciais - Textos de Matemática. (Vol. 14). Lisboa: Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

Método de interação
Aulas teóricas (T) expositivas, onde se descreve e exemplificam aplicações dos princípios fundamentais, acompanhadas de análise e discussão; aulas TP onde o docente orienta os alunos no treino e na exploração de conhecimentos adquiridos nas aulas T.

Software utilizado nas aulas
Não aplicável.

 

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável