Álgebra

Engenharia Electrotécnica e de Computadores
6 ECTS; 1º Ano, 1º Semestre, 28,0 T + 42,0 TP + 5,0 OT

Docente(s)
- Ana Cristina Becerra Nata dos Santos
- Carlos Filipe Perquilhas Baptista

Pré-requisitos
Não aplicável.

Objetivos
1. Aquisição de conhecimentos no domínio dos números complexos, da Álgebra Linear e da Geometria Analítica.
2. Dotar os alunos de diversas ferramentas algébricas necessárias à modelação e à resolução de problemas relacionados com as engenharias.
3. Desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico

Programa
I. NÚMEROS COMPLEXOS
1.1. Formas algébrica e trigonométrica;
1.2. Potências e raízes;
1.3. Fórmulas de De Moivre.

II. ­MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
2.1. Noções gerais. Alguns tipos particulares de matrizes;
2.2. Operações com matrizes e propriedades;
2.3. Operações elementares. Característica de uma matriz;
2.4. Sistemas de equações lineares:
2.4.1. Representação matricial de um sistema de equações lineares;
2.4.2. Classificação e discussão de um sistema de equações lineares por recurso ao teorema de Rouché;
2.4.3. Resolução de sistemas de equações lineares por recurso ao método de eliminação de Gauss-Jordan;
2.5. Inversão de matrizes:
2.5.1. Matrizes singulares e não-singulares;
2.5.2. Inversão de uma matriz não-singular por recurso ao método de Gauss-Jordan;
2.6. Decomposição P^T LU:
2.6.1. Matrizes elementares e matrizes de permutação;
2.6.2. Decomposição P^T LU de uma matriz;
2.6.3. Resolução de sistemas de equações lineares usando a decomposição P^T LU da matriz dos coeficientes do sistema.

III. DETERMINANTES E SUA APLICAÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E À INVERSÃO DE UMA MATRIZ QUADRADA
3.1. Definição. Regra dos produtos cruzados para o cálculo de determinantes de 2ª ordem;
3.2. Teorema de Laplace;
3.2.1. Menor complementar e complemento algébrico de um elemento de uma matriz quadrada;
3.2.2. Cálculo do determinante de uma matriz quadrada por recurso ao teorema de Laplace;
3.3. Algumas propriedades dos determinantes;
3.4. Cálculo da inversa de uma matriz não-singular a partir da sua matriz adjunta;
3.5. Aplicação dos determinantes aos sistemas de equações lineares. Regra de Cramer.

IV. ESPAÇOS VETORIAIS REAIS
4.1. Introdução. Definição e exemplos de espaços vetoriais;
4.2. Subespaços vetoriais;
4.3. Combinações lineares de vetores;
4.4. Subespaço gerado por um conjunto de vetores;
4.5. Dependência e independência linear de vetores;
4.6. Bases e dimensão de um espaço vetorial;
4.7. Espaço-linha e espaço-coluna de uma matriz.

V. VALORES E VETORES PRÓPRIOS. APLICAÇÃO À DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES
5.1. Valores e vetores próprios de matrizes quadradas: definições, polinómio característico e multiplicidade algébrica de um valor próprio;
5.2. Subespaço próprio associado a um valor próprio e multiplicidade geométrica de um valor próprio;
5.3. Cálculo de valores e vetores próprios;
5.4. Propriedades dos valores próprios;
5.5. Matrizes diagonalizáveis e diagonalização de uma matriz.

VI. NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA
6.1. Produto interno de vetores: definição e propriedades;
6.2. Produto externo e produto misto: definição, propriedades, aplicações ao cálculo da área de um paralelogramo e ao volume de um paralelepípedo;
6.3. Representação analítica da reta;
6.4. Representação analítica do plano.

Metodologia de avaliação
Avaliação contínua: dois testes escritos sem consulta, cada um cotado para 10 valores e com nota mínima de 3 valores em cada teste.
Avaliação por exame: um teste escrito sem consulta, cotado para 20 valores, sobre toda a matéria lecionada.

Bibliografia
- , .(1995). Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica. Lisboa: McGraw-Hill
- Ferreira, M. e Amaral, I. (2008). Álgebra Linear: Matrizes e Determinantes.. (Vol. 1º). (pp. 1-240). Portugal: Edições Sílabo
- Amaral, I. e Ferreira, M. (2009). Álgebra Linear: Espaços Vetoriais e Geometria Analítica. (Vol. 2º). (pp. 1-160). Portugal: Edições Sílabo
- Leon, S. (2009). Linear Algebra with Applications. (pp. 1-552). USA: Pearson

Método de interação
Aulas teóricas e teórico-práticas, em que se expõem e exemplificam as matérias respeitantes a cada um dos conteúdos programáticos.

Software utilizado nas aulas
Não aplicável.