Álgebra Linear

Engenharia Química e Bioquímica
5 ECTS; 1º Ano, 1º Semestre, 30,0 T + 30,0 TP

Docente(s)
- Ana Cristina Becerra Nata dos Santos

Pré-requisitos
Não aplicável.

Objetivos
1. Aquisição de conhecimentos no domínio da Álgebra Linear e da Geometria Analítica.
2. Dotar os alunos de diversas ferramentas algébricas necessárias à modelação e à resolução de problemas relacionados com as engenharias.
3. Desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico, analítico e crítico.

Programa
I. ­MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
1.1. Noções gerais. Alguns tipos particulares de matrizes;
1.2. Operações com matrizes e propriedades;
1.3. Operações elementares. Característica de uma matriz;
1.4. Sistemas de equações lineares:
1.4.1. Representação matricial de um sistema de equações lineares;
1.4.2. Classificação e discussão de um sistema de equações lineares por recurso ao teorema de Rouché;
1.4.3. Resolução de sistemas de equações lineares por recurso ao método de eliminação de Gauss-Jordan;
1.5. Inversão de matrizes:
1.5.1. Matrizes singulares e não-singulares;
1.5.2. Inversão de uma matriz não-singular por recurso ao método de Gauss-Jordan;
1.6. Decomposição P^T LU:
1.6.1. Matrizes elementares e matrizes de permutação;
1.6.2. Decomposição P^T LU de uma matriz;
1.6.3. Resolução de sistemas de equações lineares usando a decomposição P^T LU da matriz dos coeficientes do sistema.

II. DETERMINANTES E SUA APLICAÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E À INVERSÃO DE UMA MATRIZ QUADRADA
2.1. Definição. Regra dos produtos cruzados para o cálculo de determinantes de 2ª ordem;
2.2. Teorema de Laplace;
2.2.1. Menor complementar e complemento algébrico de um elemento de uma matriz quadrada;
2.2.2. Cálculo do determinante de uma matriz quadrada por recurso ao teorema de Laplace;
2.3. Algumas propriedades dos determinantes;
2.4. Cálculo da inversa de uma matriz não-singular a partir da sua matriz adjunta;
2.5. Aplicação dos determinantes aos sistemas de equações lineares. Regra de Cramer.

III. ESPAÇOS VETORIAIS REAIS
3.1. Introdução. Definição e exemplos de espaços vetoriais;
3.2. Subespaços vetoriais;
3.3. Combinações lineares de vetores;
3.4. Subespaço gerado por um conjunto de vetores;
3.5. Dependência e independência linear de vetores;
3.6. Bases e dimensão de um espaço vetorial;
3.7. Espaço-linha e espaço-coluna de uma matriz.

IV. VALORES E VETORES PRÓPRIOS. APLICAÇÃO À DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES
4.1. Valores e vetores próprios de matrizes quadradas: definições, polinómio característico e multiplicidade algébrica de um valor próprio;
4.2. Subespaço próprio associado a um valor próprio e multiplicidade geométrica de um valor próprio;
4.3. Cálculo de valores e vetores próprios;
4.4. Propriedades dos valores próprios;
4.5. Matrizes diagonalizáveis e diagonalização de uma matriz.

V. NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA
5.1. Produto interno de vetores: definição e propriedades;
5.2. Produto externo e produto misto: definição, propriedades, aplicações ao cálculo da área de um paralelogramo e ao volume de um paralelepípedo;
5.3. Representação analítica da reta;
5.4. Representação analítica do plano.

Metodologia de avaliação
Avaliação contínua: dois testes escritos sem consulta, cada um cotado para 10 valores e com nota mínima de 3 valores em cada teste.
Avaliação por exame: um teste escrito sem consulta, cotado para 20 valores, sobre toda a matéria lecionada.

Bibliografia
- Ferreira, M. e Amaral, I. (2008). Álgebra Linear: Matrizes e Determinantes. (Vol. 1º). (pp. 1-240). Portugal: Edições Sílabo
- Ferreira, M. e Amaral, I. (2009). Álgebra Linear: Espaços Vectoriais e Geometria Analítica. (Vol. 2º). (pp. 1-160). Portugal: Edições Sílabo
- Leon, S. (2009). Linear Algebra with Applications. (pp. 1-552). USA: Pearson
- Giraldes, E. e Smith, P. (1995). Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica. Lisboa: McGraw-Hill

Método de interação
Aulas teóricas e teórico-práticas, em que se expõem e exemplificam as matérias respeitantes a cada um dos conteúdos programáticos.

Software utilizado nas aulas
Não aplicável.