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Matemática I

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Publicação em Diário da República: Despacho nº 13772/2014 - 12/11/2014

6 ECTS; 1º Ano, 1º Semestre, 30,0 T + 45,0 PL , Cód. 90561.

Docente(s)
- Maria Helena Morgado Monteiro (2)
- Ana Cristina Becerra Nata dos Santos (1)(2)

(1) Docente Responsável
(2) Docente que lecciona

Pré-requisitos
Não existem pré-requisitos.

Objetivos
1. No final da U.C. o aluno será capaz de realizar as competências abaixo discriminadas por áreas de conhecimentos:
1.1. Análise Matemática:
1.1.1. operar com números, resolver equações e sistemas de equações lineares;
1.1.2. dominar o conceito de função real de variável real, assim como os conceitos associados ao cálculo diferencial e respetivas aplicações;
1.1.3. calcular primitivas e integrais, e usar estes conceitos nas aplicações abordadas;
1.1.4. dominar o conceito de função real de várias variáveis reais, assim como calcular derivadas parciais, extremos livres e extremos condicionados;
1.1.5. determinar e analisar as soluções de equações diferenciais lineares de 1ª ordem.
1.2. Matemática Financeira: resolver problemas relativos a depósitos, poupanças programadas e empréstimos.
1.3. Métodos Numéricos: compreender e usar métodos para:
1.3.1. a resolução numérica de equações não lineares;
1.3.2. o ajuste de curvas por interpolação polinomial;
1.3.3. a diferenciação e integração numérica.

No final desta UC o aluno deverá ainda:
2. ser capaz desenvolver a sua capacidade de raciocínio matemático que permita a criação de autonomia na aprendizagem.
3. ser capaz de resolver problemas relacionados com todos os temas abordados.
4. ficar familiarizado com as técnicas básicas de utilização do software gratuito Geogebra como ferramenta de apoio à aprendizagem.

Programa
1. FUNÇÕES E CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR
1.1. Generalidades sobre funções reais de variável real.
1.2. Breve referência ao cálculo de limites. Função derivada. Funções diferenciáveis. Interpretação geométrica do conceito de derivada. Regras de derivação. Derivadas sucessivas.
1.3. Aplicação das derivadas ao estudo de funções e a certos problemas de natureza Económica.

2. CÁLCULO INTEGRAL
2.1. Definição e generalidades. Propriedades dos integrais indefinidos.
2.2. Primitivas imediatas e quase-imediatas.
2.3. Métodos de primitivação.
2.4. Definição de integral simples de Riemann e sua interpretação geométrica. Condições de integrabilidade e propriedades dos integrais.
2.5. Teorema fundamental do cálculo integral.
2.6. Teorema da média do cálculo integral e suas aplicações.
2.7. Métodos de integração.
2.8. Integrais impróprios.
2.9. Aplicações geométricas dos integrais.

3. NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
3.1. Juros simples, juros compostos e juros compostos continuamente.
3.2. Poupanças programadas (juros compostos e compostos continuamente).
3.3. Empréstimos.

4. FUNÇÕES E CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRn
4.1. Funções reais de várias variáveis reais.
4.1.1. Conjuntos de pontos em IRn.
4.1.2. Definição de funções reais de duas (ou mais) variáveis reais. Domínios de definição e respetiva representação gráfica.
4.2. Derivadas parciais.
4.3. Funções homogéneas: definição e teorema de Euler.
4.4. Fórmula de Taylor e respetiva aplicação ao cálculo de extremos livres de funções definidas em IRn.
4.5. Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ª ORDEM
5.1. Noções preliminares: Definição de equação diferencial, solução geral, soluções particulares e condições iniciais (ou de fronteira). Alguns exemplos de motivação.
5.2. Equações diferenciais lineares de 1ª ordem.
5.2.1. Equação homogénea.
5.2.2. Equação não-homogénea (ou completa): método de Lagrange (ou da variação da constante arbitrária).

6. NOÇÕES DE ANÁLISE NUMÉRICA
6.1. Introdução.
6.2. Resolução numérica de equações não-lineares:
6.3. Interpolação polinomial
6.3.1. Polinómio interpolador de Newton das diferenças finitas.
6.3.2. Cálculo da TIR (Taxa Interna de Retorno) por Interpolação Linear
6.4. Derivação e Integração numérica.

Metodologia de avaliação
Avaliação contínua: dois mini-testes (M1 e M2) realizados, sem aviso prévio, no final de duas aulas, sem consulta, cada um cotado para 1 valor; e dois testes escritos (T1 e T2), sem consulta, cada um cotado para 9 valores e ambos com nota mínima de 2 valores. A classificação final é expressa por M1+M2+T1+T2, desde que a nota mínima tenha sido obtida em ambos os testes T1 e T2. Caso contrário, a classificação final será igual à menor das classificações T1 ou T2. As notas M1, M2, T1 e T2 são arredondadas às centésimas e apenas a classificação final será arredondada às unidades.

Avaliação por exame: prova escrita sem consulta sobre toda a matéria.

Aprovação (em qualquer modalidade): pelo menos 10 val. em 20 val., desde que cumpridas as restrições mencionadas anteriormente.

Bibliografia
- Armstrong, B. e Davis, D. (2002). College mathematics: Solving problems in finite mathematics and calculus. USA: Pearson Education
- Edwards, B. e Larson, R. e Hostetler, R. (2006). Cálculo. (Vol. I). USA: McGraw-Hill
- Ferreira, M. e Amaral, I. (2006). Primitivas e Integrais. (pp. 1-184). Lisboa, Portugal: Edições Sílabo
- Santos, C. (2002). Fundamentos de análise numérica. Lisboa: Edições Sílabo

Método de Ensino
Aulas teóricas em que se expõem e exemplificam as matérias de cada um dos conteúdos
programáticos. Aulas práticas em que se resolvem exercícios incentivando-se a participação
ativa por parte dos alunos.

Software utilizado nas aulas
Geogebra.

 

Aprovado em Conselho Técnico Cientifico: Ata da Reunião do CTC nº208 de 24/10/2023

Download da Ficha da Unidade Curricular (FUC)

 

 


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